Relativitätstheorie auf dem Papierstreifen

Spezielle Relativitätstheorie im Applet

• Allee mit Wagen und Überholer:
  Wir sehen eine Allee mit zwei Wagen. Wenn Sie genug gesehen haben, halten Sie das erste Bild mit dem pause-Knopf an. Fordern Sie nun mit demselben Knopf proceed, so erscheint die gleiche Szene noch einmal, allerdings nun mit einem Registrierstreifen, auf dem alle Objekte Linien zeichnen (die sogenannten Weltlinien). Gleichförmige Bewegung zeichnen gerade Weltlinien. Wenn der Registrierstreifen gleichförmig herausgezogen wird, sind das dann auch gewöhnliche Geraden. Die Neigung gegen die Vertikale zeigt die Geschwindigkeit (gegen das Registriergerät).
  Mit dem Schieber kann die Geschwindigkeit des blauen Wagens verändert werden. Der rote ist immer doppelt so schnell.
• Wagen mit Allee und Überholer:
  Hier fahren Kamera und Registrierstreifen auf einer Schiene parallel zur Allee mit der Geschwindigkeit des blauen Wagens, so dass dieser fest im Gesichtsfeld bleibt. In einer symmetrischen Situation bewegen sich nun Alleebäume und roter Wagen gleich schnell, aber in entgegengesetzte Richtungen. Die Dreiecke OBA und OBC liegen spiegelbildlich zur Weltlinie der blauen Wagens. Wir prüfen das mit einem Radarsignal, das von beiden Objekten zu gleicher Zeit wieder eintrifft.
  Wieder halten sie die erste Szene mit pause an und fordern den Registrierstreifen mit proceed.
• Problem der Zusammensetzung:
  Wir zeigen hier, dass die erste Situation mit der doppelten Geschwindigkeit des roten Wagen nicht symmetrisch sein kann, wenn die Lichtgeschwindigkeit bei Spiegelung unverändert bleibt. Es geht los wie im ersten Abschnitt, aber nach der Registrierung folgt die Prüfung der Symmetrie mit dem Radarsignal. Wenn sich auch die Lichtgeschwindigkeit mit der des blauen Wagens additiv zusammensetzt, ist alles in Ordnung (rotes Viereck), bei absoluter Lichtgeschwindigkeit zeigt sich aber der Fehler (braunes Viereck). Die zu OA an OB symmetrische Weltlinie ist die sich ergebende braune Weltlinie.
• Einsteins Zusammensetzung:
  Wir zeigen nun die endlich symmetrische Situation und markieren zum Schluss ein Viereck aus Lichtlinien, dass Lichteck heißt. Dieses Lichteck sieht sehr rechteckig aus, aber das ist allein der Wahl der Neigung der Lichtlinien geschuldet. Als Eselsbrücke, zur leichteren Erkennbarkeit, ist diese Neigung ein Achtelbogen nach euklidischem Maß. Dieses Maß hat hier aber keine besondere Bedeutung. Wird der Registrierstreifen mit anderer Geschwindigkeit herausgezogen, ergibt sich ein gestauchtes oder gestrecktes Bild. Die Schnittpunkte jedoch, die Streckenrelationen und die darauf beruhenden Schlüsse bleiben alle unverändert gültig.

Kapitel 2: Spiegelung

• Tennis mit Ball:
  Wieder beginnt der Abschnitt mit einer Szene, die mit pause angehalten und darauf nach proceed den Registrierstreifen zeigt. Die Spiegelung der Bewegung des Balls am Racket wendet nur das Vorzeichen der Geschwindigkeitsdifferenz. Bewegt sich das Racket dem Ball entgegen, erhält dieser eine größere Geschwindigkeit. Weicht das Racket zurück, kann man erreichen, dass die Geschwindigkeit vollständig herausgenommen wird und der Ball zur Ruhe kommt (Stopball).
• Tennis mit Photon:
  Ersetzen wir Ball und Racket durch Photon und Spiegel, so wechselt nun die Geschwindigkeit des Photons selbst das Vorzeichen, unabhängig von der Bewegung des Spiegels. Ein Stopball ist nun unmöglich. Licht kann man nicht anhalten. Einstein berichtet in seinen Erinnerungen, dass solche Überlegungen ihn schon im Kindesalter beschäftigt haben. 1905 hat er gesehen, dass die Unveränderlichkeit des Betrags der Lichtgeschwindigkeit bei Zusammensetzungen mit anderen Geschwindigkeiten ein Axiom ist, das die Probleme zwischen Elektrodynamik und Mechanik auflöst.
• Lichteck:
  Liegt die Spiegelung der Lichtsignale fest, kann jedes Ereignis als Schnittpunkt von Lichtsignalen angesehen werden. So ergibt sich einfach das Spiegelbild des Ereignisses als Schnittpunkt der Weltlinien der gespiegelten Signale. Dabei entsteht ein charakteristisches Viereck, das Lichteck. Seine zweite Diagonale ist eine Gerade, die in sich selbst gespiegelt wird. Damit steht sie lotrecht auf der Weltlinie des Spiegels. Lotrecht sieht auf dem Registrierstreifen, der Orts-Zeit-Ebene, anders als auf der gewohnten (euklidischen) Zeichenebene aus. Dennoch führen nun die gleichen Strategien wie in der gewohnten Geometrie zu homologen Schlüssen.
• Lichteck und Gleichzeitigkeit:
  Spiegelt man ein Ereignis A an einem bewegten Spiegel, so ist das Ergebnis B nicht mehr gleichzeitig mit A, wenn OA die Weltlinie eines bezogen auf den Registrierstreifen ruhenden Objekts ist. Bezogen auf den Spiegel, sollen die Ereignisse aber gleichzeitig sein. Wir zeigen die Konsistenz dieser Vorstellung, indem wir A noch einmal an der Linie OB spiegeln. Dabei finden wir C. Spiegeln wir andererseits B and der Linie OA, finden wir D. D und B sind bezogen auf OA ersichtlich gleichzeitig. Nun kann man sich überzeugen, dass D auch das Spiegelbild von C an der roten Linie ist. Damit ist die Lage von A und C bezüglich B gleichwertig mit der Lage von B und D bezüglich A. Es ist also richtig, C und A als gleichzeitig bezüglich OB anzusehen. Die auf einer geraden Weltlinie lotrechten Geraden sind Orte der bezogen auf diese Weltlinie gleichzeitigen Ereignisse.
• Einsteinzug auf der Gardinenstange:
  Diese Szene bringt nun eigentlich nichts Neues, aber sie illustriert den oft zitierten Einstein-Zug, der mit hoher Geschwindigkeit fährt und in dessen Mitte ein Lichtsignalpaar gestartet wird, das an den Enden gespiegelt wird und danach gleichzeitig wieder in der Mitte eintrifft. Es hat deshalb nicht nur die gleiche Entfernung der Enden von der Mitte bestätigt, sondern auch den Schluss auf die Gleichzeitigkeit der Spiegelereignisse an den Zugenden erzwingt.

Kapitel 3: Masse

• Stoß mit gleichen Steinen:
  Dieser Fall ist beim Curling oft zu beobachten, wenn ein Stein zentral getroffen wird. Beim (vorausgesetzt elastischen) Stoß bleibt die Summe der Geschwindigkeiten erhalten, die Differenz wechselt das Vorzeichen.
• Stoß mit ungleichen Steinen:
  Die Summe der Geschwindigkeiten bleibt nicht mehr erhalten, die Differenz wechselt aber weiter das Vorzeichen (und in der SRT auch die Größe).
• Masse und Impuls:
  Ein Erhaltungssatz entsteht jedoch, wenn die Geschwindigkeiten geeignet gewichtet werden. Dieses Gewicht heißt (träge) Masse (spielen Sie mit dem Regler Massenverhältnis, um die verschiedenen Beharrungsvermögen zu sehen). Diese (träge) Masse kann nur in Bewegungsexperimenten bestimmt werden. Sie hat begrifflich noch nichts mit der schweren Masse zu tun, die auf Balken- und anderen Waagen verglichen wird. Die Äquivalenz (genauer universelle Propotionalität) von träger und schwerer Masse ist eine neue Tatsache, die später den Weg für die relativistische Gravitationstheorie (die Allgemeine relativitätstheorie) geebnet hat.
• Spiegelsymmetrischer Stoß:
  Richten wir es so ein, dass die Beträge der Geschwindigkeiten gleich bleiben, können die Massen verglichen werden, ohne ihre eventuelle Abhängigkeit von der Geschwindigkeit diskutieren zu müssen.
• Zerfall:
  Die Summe der Massen der Zerfallsprodukte muss gleich der des ursprünglichen Objekts sein. Der (Raum-Zeit-)Impulsvektor wird durch eine Strecke dargestellt, deren horizontale Komponente der gewöhnliche Impuls (Masse mal Geschwindigkeit) und deren vertikale Komponente die Masse selbst ist. Für beide Komponenten gilt die Bilanz (der Erhaltungssatz).
• Spiegelsymmetrischer Zerfall (Galilei):
  Nehmen wir die Spiegelung mit der absoluten Gleichzeitigkeit, dann hängt die Masse nicht von der Geschwindigkeit ab. Wir brauchen aber die Spiegelung nach Einstein (mit Hilfe der Lichteck-Konstruktion).
• Spiegelsymmetrischer Zerfall (Einstein):
  Nehmen wir die Spiegelung mit der Lichteck-Konstruktion, wird die Masse notwendig geschwindigkeitsabhängig. Diese Abhängigkeit lässt sich geometrisch bestimmen..
• Geschwindigkeitsabhängigkeit:
  Sie ergibt sich aus dem Impulsdiagramm zu
  
  m²c² = m₀²c² + p².
  
  
• Massenzuwachs:
  Er ergibt sich proportional zum Zuwachs des Impulses, der Faktor ist die momentane Geschwindigkeit
  
  c² dm = v dp.
  

Kapitel 4: Energie

• Hebelgesetz und virtuelle Arbeit:
  Am Hebelgesetz wird erläutert, wie die Energie definiert werden muss. Zunächst geht es um den Begriff der Kraft. Am Stoß war zu sehen, dass der Impuls erhalten bleibt, wenn ein System keinem äußeren Einfluss unterliegt. Ein solcher Einfluss wirkt sich also als Änderung des Impulses aus, und wir nennen ihn Kraft.
  
  Kraft ist die Änderung des Impulses pro Zeit.
  Der Hebel zeigt, dass wiederum Gleichgewicht herrscht, wenn die Kräfte so verteilt sind, dass alle Kräfte multipliziert mit den entsprechenden Komponenten der Bewegungsmöglichkeiten (virtuellen Verrückungen) in der Summe Null ergeben. Wollen wir das Gleichgewicht brechen, muss diese Summe von Null verschieden sein. Dann nennen wir sie virtuelle Arbeit oder Ernergieänderung (natürlich sind beide Vorzeichen möglich).
  
  Energieänderung ist gleich Summe der Produkte aus Kraft und Wegstück.
• E = mc²:
  An einem einzelnen Objekt ist die Energiezuname gleich Kraft mal Wegstück, und das ist gleich Geschwindigkeit mal Impulszuwachs. Die Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse zeigt aber gerade, dass die Energieänderung mit einer universell proportionalen Massenänderung einhergeht.
  An dieser Stelle ist noch nicht bestimmt, ob es man einen Nullpunkt der Energie eines Systems zweckmäßig definieren kann und wo dieser gegebenenfalls liegt.
• Zerstrahlung:
  Nach der Ableitung des Gesetzes für die Zuwächse von Energie und Masse bleibt die Frage, ob auch Gesamtmasse gleich Gesamtenergie ist oder ob die relative Lage des Nullpunkte von Energie und Masse unbestimmt bleibt. Hier zeigt die Zerlegung eines Teilchen in zwei Photonen, dass die gesamte Ruhmasse proportional der Energie ist, weil in diesen Prozessen (die man Zerstrahlung nennt) unter Erhaltung von Masse und Energie keine Ruhmasse übrigbleiben muss.
  Ist das zerstrahlende Teilchen (typischerweise Teichen-Antiteilchen-Paare, aber auch neutrale Mesonen wie das Pi-Meson) in Bewegung, haben die beiden Photonen unterschiedliche Masse, Energie und Frequenz. Der Frequenz- und Energieunterschied entspricht dem Doppler-Effekt.
  Die Energie der Photonen ergibt sich aus ihrer Masse (nicht Ruhmasse), das ist (bis auf den Doppler-Effekt) jeweils die Hälfte der Masse des zerfallenden Teilchens. Ein Elektron-Positronen-Paar ergibt dann zwei Photonen der Energie 0.51 MeV.

Kapitel 5: Metrik

• Pythagoras nach Euklid:
  Hier wird Schritt für Schritt Euklids Beweis des Satzes des Pythagoras dargestellt. Nachdem die Quadrate über den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gezeichnet sind, wird das Lot auf die Hypotenuse gezogen. Es ist die Gerade, an der sich die Flächenscherungen und Verschiebungen richten. Da die Fläche eines Parallelogramms gleich dem Produkt aus einer Seite und der Länge des auf ihr errichteten Lotes ist, bleibt sie bei Scherungen fest. Beide Kathetenquadrate passen zusammen gerade in das Hypotenusenquadrat.
  
  Die Summe der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
  
• Pythagoras nach Einstein:
  Die Strategie Euklids kann auch auf das rechtwinklige Dreieck auf dem Registrierstreifen angewendet werden, wir müssen nur beachten, dass der rechte Winkel jetzt anders aussieht. Zwei rechtwinklige Geraden sind Diagonalen eines Lichtecks. Das Quadrat ist ein Rechteck mit besonderen Diagonalen. In der gewohnten Geometrie ist das Quadrat ein Rechteck mit Diagonalen, die aufeinander senkrecht stehen. Hier ist das Quadrat ein Rechteck, dessen Diagonalen Lichtlinien sind. BDEC und CFGA sind die Kathetenquadrate, ABIH das Hypotenusenquadrat. CM ist das Lot aus C auf die Hypotenuse. Wieder werden die Kathetenquadrate geschert und verschoben. Nun aber zeigt sich, dass das größere Kathetenquadrat auf die Summe von Hypotenusenquadrat und kleinem Kathetenquadrat passt.
  
  Die Differenz der Kathetenquadrate ist gleich dem Hypotenusenquadrat.
  

Kapitel 6: Paradoxa

• Zeitdilatation:
  Die Zeichnung setzt fort, was im Abschnitt Lichteck und Gleichzeitigkeit des Kapitels Spiegelung begonnen wurde. Zwei gegeneinander bewegte Beobachter (OA und OB) sehen, dass die Zeit des jeweils anderen langsamer abzulaufen scheint. Der Effekt ist absolut symmetrisch und setzt voraus, dass die Uhren völlig gleich gehen (OA ist symmetrisch zu OB). A, A^* und C sind gleichzeitig für den Beobachter OB. B, B^* und D sind gleichzeitig für den Beobachter OA. Für OB sind A und A^* ebenso später als B wie B und B^* für OA später als A sind. Dieser symmetrische Effekt entspricht in der euklidischen Geometrie der Tatsache, dass zwei gegeneinander verdrehte Längennormale das jeweils andere verkürzt aussieht, weil die Komponente einer Strecke immer kleiner als die Strecke selbst ist. Auch dieser Effekt, der im Gelächter über den Balken vor dem Schildaer Rathaus als selbstverständlich erscheint, ist symmetrisch.
• Zwillingsparadoxon:
  Wenn wir ein Dreieck aus Weltlinien zusammensetzen, dann ist wegen der Zeitdilatation der Umweg nun kürzer als der direkte. Wir suchen zuerst die Spiegellinien, die AB in AC und CB spiegeln. Dann sieht man, dass der Zeit nach AC = AD und MB = QB sein müssen. AC + CB ist also kürzer als AB, es fehlt das Stück DM.
  In der Zeichnung wird das unmittelbar an den Weltlinien der Photonen einer Lichtuhr illustriert. Zunächst sieht man drei Lichtuhren, die nach pause und proceed auch einen Registrierstreifen beschreiben, auf dem man sich überzeugt, dass die Lichtsignal die gleichen Geschwindigkeiten haben, auch wenn man sich darüber im ersten Bild wohl täschen konnte. Mit proceed for pure geometry bereinigen wir das Bild und zeichnen Hilfslinien für die geometrische Schlussfolge.
  Das Programm zeichnet die Winkelhalbierenden (Spiegellinien, cyan gefärbt) BJ und AK. An den Lichtecken HCKD und IMJC sieht man, dass tatsächlich die Gerade durch AB in die durch AC und auch in die durch BC gespiegelt wird. Spiegelbild der Strecke AC ist AD, Spiegelbild der Strecke CB ist MC.
  Es gibt auch eine Spiegellinie durch C, die die Gerade durch AC in die durch BC spiegelt (nicht A in B!). Die Spiegellinien treffen sich in einem Punkt, der dem Inkreismittelpunkt der euklidischen Geometrie entspricht.
  Die Lichtuhren sind als Spiegelbilder voneinander konstruiert, um sicherzustellen, dass sie alle die gleiche Periode haben. Man sieht unmittelbar, wie die Zeitdifferenz AB - AC - CB = DM zustandekommt.
  
  Verändern Sie das Dreieck (den Fahrtenplan) mit den Schiebern.